samedi 25 mai 2013

Bouteilles de Klein

source : wikipedia


En mathématiques, la bouteille de Klein (prononcé kla.in) est une surface fermée, sans bord et non orientable, c'est-à-dire une surface pour laquelle il n'est pas possible de définir un « intérieur » et un « extérieur ». La bouteille de Klein a été décrite pour la première fois en 1882 par le mathématicien allemand Felix Klein. Elle est étroitement liée au ruban de Möbius et a des prolongements du plan projectif réel tels que la surface de Boy.
C'est un des exemples les plus simples de variété abstraite, car c'est une surface qui ne peut être représentée convenablement dans l'espace à trois dimensions. Mathématiquement, on dit qu'elle possède une immersion de classe C dans l'espace ℝ3 de dimension trois, mais n'y possède pas de plongement continu.


Construction

La bouteille de Klein n'est possible à représenter dans l'espace ℝ3 (l'espace à 3 dimensions) que si l'on accepte qu'elle se traverse elle-même ; aussi, aucune réalisation que l'on peut voir de la bouteille de Klein n'est « exacte ». Dans ℝ4, il est par contre possible de la réaliser sans auto-intersection (mathématiquement, on dit qu'elle possède un plongement (immersion injective) de classe C dans ℝ4).
Voici un plan de montage dans ℝ3. À partir du carré initial, on colle les deux bords rouges l'un contre l'autre, dans le sens des flèches. La figure obtenue est un cylindre, dont on veut identifier les deux bords à l'aide des flèches bleues. Pour respecter le sens de ces flèches, il est nécessaire de retourner l'un des cercles avant de le recoller à l'autre, et pour cela, d'opérer une auto-intersection.

         
Si les deux segments bleus étaient orientés de la même façon, le recollement des segments opposés donnerait un tore. Si au contraire, les deux segments rouges étaient orientés en sens inverse comme les deux segments bleus, le recollement des segments opposés donnerait un plan projectif.


(images credit: Torolf Sauerman, Bathsheba, Satgnu)


On the left you see the intricate mathematical art by Anatoly Fomenko from Russia (Klein Bottle and Torus combination); on the right is a steam Klein Bottle cart "impossible concept" by Roger Shepard:


(images credit: Anatoly Fomenko, Roger Shepard)


The first Klein Bottle was described by the German mathematician Felix Klein in 1882; here are his lecture notes (left image below). On the right is the famous Escher's Moebius Strip - a structure from which Klein Bottle can be formed by topological extension:


(images via 1, 2)


And here is how the bottle can be formed (note: this requires an extra-dimensional jump at the "intersection", so it's only a simplified visualization):




Taking a clue from the Moebius strip image with ants crawling all over it (see above), this animation shows the path that these ants would follow crawling on the Klein bottle:


(image via)


The Klein Bagel: do you want cream cheese with that?

Also called "the figure 8 immersion of the Klein bottle" (read about immersions here), this bagel-like impossible shape has an even more impressive, impossible cross section:


(images via)


This would be perhaps the first object that we'd print on a 3D printer

The whole gallery of 3D models by Torolf Sauerman (also known as "jotero") is worth looking at (and drooling over the possibilities of 3D printing it for your office) - click here. He also runs a YouTube channel full of topological animations.


(images credit: Torolf Sauerman)


Californian 3D artist Erik Anderson rendered this remarkably life-like image of chained Klein bottles:


(image credit: Erik Anderson)


Nested Topological Glass Vessels

Here are a couple of rather more simplified, hand-blown glass emulations (the wine "glass" on the right you can even purchase here) -


(images credit: Clifford Stoll and Grand-Illusions, Encyclopædia Britannica)


The California-based Acme Klein Bottle Company sports quite a catalog of different glass and plastic bottles. They describe their products as "the finest closed, non-orientable, boundary-free manifolds sold anywhere in our three spatial dimensions":


(image credit: Science Museum, London)


Speaking about more sophisticated topological glass objects, you should check out glass Klein bottle collection on exhibit in The Science Museum in London - for example, this "triple bottle" variety (made by Alan Bennett in Bedford, United Kingdom, in 1995):


(image credit: Science Museum, London)


Here is "a single surface, five-layered sphere: extension of the three Klein bottles above to infinity which when cut gives a pair of single-twist Moebius strips":


(image credit: Science Museum, London)


Adding more and more rounds of "handles" that theoretically fold upon themselves, results in this intriguing glass sculpture:


(image credit: http://www.sciencemuseum.org.uk/images/I065/10328081.aspx)

These are the "two single surface glass vessels made by Alan Bennett in 1995. Part one is a double loop Klein bottle which when cut gives a pair of three-twist Moebius strips. Part two is a triple loop Klein bottle which when cut gives a pair of five-twist Mobeius strips."


Do you want your Klein object DOUBLE, or TRIPLE?

Produced by the same "Acme Klein Bottle Company", the double Klein bottle looks much like an hourglass - it was featured on the cover of the book, "Endless Universe" by Paul Steinhardt and Neil Turok. Both double and triple bottles are externally linked in this case, but it is also possible to link them internally.


(images via)

In the middle you can see another Acme innovation - the spiral top vessel (more info). They also call it the "Spiral top Kleindensor" which are commonly used as condensors in 4-dimensional stills. On the right is the Acme Klein wine bottle, which might present a few problems in actual usage:

"The Wine Bottle Klein Bottle is difficult to fill with wine, because of vapor-lock. As you pour water (or wine) into it, there's no place for the air to go. So the wine is trying to go down while the air is trying to go up the spout. Result is slow filling. Pouring wine out is equally frustrating. Not only are these difficult to fill and empty, but cleaning them is a real challenge. Since there's little air circulation within the Klein Bottle, moisture doesn't evaporate. Worse, you can't reach in with a towel. So you'll need to dry the interior surface using alcohol. I've had good luck with a pair of small magnets wrapped in cotton cloth."


... or, perhaps, even TRIANGULAR?

Triangular, triple Klein bottle form:


(image via)


Would you prefer your Klein manifold sliced? (more info):


(images credit: Science Museum, London, Klein Bottle)


Stained Glass Impossibility

This wonderful structure is made from 11 faces of brightly colored and illuminated glass, which certainly creates the illusion of complexity in its reflections; a sort of the stained glass 3D puzzle. it was created by glass sculptor Istvan from Hungary:


(image credit: Istvan)


Klein Bottles in Architecture: A Klein Bottle House

Remember a great 1940s science fiction story by Robert A. Heinlein "And He Built a Crooked House"? The bizarre topological house featured there was a tesseract, but a Klein bottle would lead to similar fantastical adventures if one were to get stranded inside of it by some freak accident:


(photo by John Gollings, via)


The Klein Bottle House was built by architects McBride Charles Ryan just outside Melbourne, Australia, has all the trappings of a science fictional dwelling and mathematical Garden of Eden for those who like their brains and sense of orientation challenged - but it also looks surprisingly liveable and warm (more info).


The Klein Bottle Playgrounds: Just don't end up with arms and legs tied in a topological knot!

How do you build physically impossible structure, especially turning it into a playground? Well, you could use the so-called "figure 8 immersion" of Klein Bottle: American artist, designer and architect Vito Acconci has been commissioned to create such an intriguing shape as part of a playground in the Miami Design District in 2014


(image credit: Vito Acconci)

On the right image above you can see another mind-boggling park installation by Vito Acconci, perhaps even more sophisticated and original.


(image via)


Here is a Krabbelknoten , a crawl-through playground structure installed at the ‘Math Adventure Land’ in Dresden in 2011 - more info


(images via)


Sophisticated mathematical knots make up great knitting projects!

Check out these single-sided Klein Bottle Hats (created by Kleinbottle and Majolo):


(images via)


Klein Bottle Bottle Opener and Coffee Cups

I wonder if you open a wine bottle with a physically impossible bottle opener (made by Bathsheba Grossman), would that lead to some miracle while drinking the wine? Perhaps the wine would never run out? I can only dream.


(images via 1, 2)

Similarly, impossible topological coffee cups should lead to a never-ending supply of coffee inside (siphoned from some helpless extra-dimension, straight into our coffee-starved reality). The cups on the right were made by Cunicode, a design agency in Barcelona, which came up with a unique cup for each day (a new coffee cup design every 24 hours); see lots of them at this link.

Fold it!... and don't let it fall into an extra-dimensional wormhole -

A single sheet of paper with no cuts or tape can be folded into this interlocking model of Klein Bottle: the crease patterns are available here. Dr. Robert Lang is responsible for this puzzling origami masterpiece:


(image via)

Hide the M&M candy inside a topological machine, and kids would never get to forbidden sweets

As we said before, Klein bottles are supposed to have zero volume, yet you can apparently fill them with M&M candy? Well, this standard Acme bottom-mouth Klein Bottle does the trick:


(images via 1, 2)

Right image above shows the BIGGEST Klein bottle in existence: 1.1 meter tall, 50 cm diameter (the size of a 5 year old child) - made by the same Acme Klein Bottle Company.

Here is the Klein Bottle - SQUARED!

if you thought that simple Klein Bottle was something challenging to wrap your brains around, try this topological maze, created solely to befuddle our spatial 3-dimensional senses:


(image credit: Sea Moon)


(image credit: Bree Walk)
Article by Avi Abrams, Dark Roasted Blend.

Construction alternative

La bouteille de Klein peut aussi être obtenue par recollement de deux rubans de Möbius le long de leurs bords. De manière équivalente, la bouteille de Klein est la somme connexe de deux plans projectifs.
On se donne deux exemplaires d'un tel carré, et on obtient deux exemplaires de ruban de Möbius en faisant cette fois d'abord l'identification suivant les flèches bleues. Chacun de ces rubans a alors un seul bord : les côtés verticaux rouges qui ont été connectés suite à l'identification précédente ; recoller les deux rubans suivant leurs bords peut alors être considéré comme équivalent à recoller le bord droit du second carré, au bord gauche du premier, et vice-versa. On voit aisément qu'on retrouve alors bien le cylindre, mais avec l'identification des bords bleus déjà effectuée, c'est-à-dire la bouteille de Klein.



On peut imaginer le plan de montage comme ça...





Bouteille de Klein séparée selon son plan de symétrie en deux bandes de Möbius

Il est peut-être plus facile de voir qu'une bouteille de Klein coupée en deux dans le sens de la hauteur fournit bien deux rubans de Möbius.

Visualisation


Réalisation de l'immersion de la bouteille de Klein, en verre
 
Il est possible de comprendre la structure de la bouteille de Klein à partir de la représentation fournie dans cet article, et au prix d'un effort intellectuel moins important que ce que l'on pourrait croire.

Imaginons un individu vivant dans un monde plat, à 2 dimensions. On essaye alors d'expliquer à l'individu ce qu'est un nœud. Pour cela, on lui dessine un nœud sur le plan : il ne voit qu'une courbe qui s'auto-intersecte. On lui explique alors que ce ne sont pas des points d'intersections qu'il voit, mais que la courbe passe « dessus » et « dessous ». Notre individu est interloqué : vivant dans un monde plat, il ne comprend pas ce qu'est le dessus ni ce qu'est le dessous. Il lui manque une dimension (le haut et le bas) pour pouvoir visualiser le nœud.

Nous rencontrons le même problème lorsque nous essayons de visualiser la bouteille de Klein, puisque nous voyons une surface qui s'auto-intersecte. Néanmoins, si nous raisonnons avec une quatrième dimension, il suffit d'imaginer qu'à cet endroit, la bouteille passe « dessus » et « dessous » au sens de cette quatrième dimension, et donc ne s'auto-intersecte pas.

On peut en quelque sorte considérer que la bouteille de Klein est une surface qui fait un « nœud ». En tant que surface (objet à 2 dimensions), il lui faut 4 dimensions pour faire un nœud, de même que pour une courbe (objet à une dimension) il faut 3 dimensions pour faire un nœud.

Paramétrisation

La paramétrisation de l'immersion dans trois dimensions de la bouteille de Klein vue précédemment s'obtient comme suit : u est un paramètre qui suit le corps de la bouteille tandis que v évolue le long de sa section.
\begin{array}{rcl}
x & = & \frac{\sqrt{2}\left( 20u^{3}-65\pi u^{2}+50\pi^{2}u-16\pi^{3}\right)\cos \left(v\right) \left(\cos \left(u\right)\left(3\cos^{2}\left(u\right)-1 \right)-2\cos\left(2u\right)\right)}{80\pi^{3}\sqrt{8\cos^{2}\left(2u\right)-\cos\left(2u\right)\left(24\cos^{3}\left(u\right)-8\cos\left(u\right)+15\right)+6\cos^{4}\left(u\right)\left(1-3\sin^{2}\left(u\right)\right)+17}}-\frac{3\cos \left(u\right)-3}{4}\\
y & = & -\frac{\left(20u^{3}-65\pi u^{2}+50\pi^{2}u-16\pi^{3}\right)\sin v}{60\pi^{3}}\\
z & = & -\frac{\sqrt{2}\left(20u^{3}-65\pi u^{2}+50\pi^{2}u-16\pi^{3}\right)\sin u \,\cos v}{15\pi^{3}\sqrt{8\cos^{2}\left(2u\right)-\cos\left(2u\right)\left(24\cos^{3}\left(u\right)-8\cos\left(u\right)+15\right)+6\cos^{4}\left(u\right)\left(1-3\sin^{2}u\right)+17}}+\frac{\sin \left(u\right) \cos^{2} \left(u\right)+\sin u}{4}-\frac{\sin u\,\cos u}{2}
\end{array}

\text{avec}\quad0\le u<2\pi\quad\text{et}\quad0\le v<2\pi.



L'immersion « en 8 » de la bouteille de Klein



Cylindre à base en 8, courbé avant d'être recollé en bouteille de Klein


Une paramétrisation plus simple s'obtient de la façon suivante, donnant une immersion en « 8 » de la bouteille de Klein. Elle consiste à prendre une courbe en forme de 8 dans un plan vertical, et à lui faire effectuer un tour complet autour de l'axe Oz pendant que le 8 lui-même effectue un demi-tour. Cette construction est comparable à celle du ruban de Möbius, où le segment pivotant est remplacé par le 8. La bouteille de Klein est alors formée à partir d'un cylindre dont la base est en forme de 8, les deux bases opposées étant recollées de façon compatible avec leur orientation.
\begin{array}{rcl}
x & = & \left(r + \cos\frac{u}{2}\sin v - \sin\frac{u}{2}\sin 2v\right) \cos u\\
y & = & \left(r + \cos\frac{u}{2}\sin v - \sin\frac{u}{2}\sin 2v\right) \sin u\\
z & = & \sin\frac{u}{2}\sin v + \cos\frac{u}{2}\sin 2v
\end{array}
Dans cette immersion, l'auto-intersection est un cercle inscrit dans le plan Oxy. La constante positive r est le rayon de ce cercle. Le paramètre u donne l'angle dans le plan Oxy et v est un paramètre définissant la section de la figure en forme de 8.

Propriétés

Origine du nom

Le nom de la surface, « bouteille de Klein », provient en fait d'une erreur de traduction de l'expression allemande Kleinsche Fläche (« surface de Klein »). Il y a eu en effet une confusion entre Fläche (« surface ») et Flasche (« bouteille »). Cependant, le terme fautif s'est imposé, y compris en allemand, où l'on utilise maintenant le terme Kleinsche Flasche (« bouteille de Klein »). Il faut dire que l'immersion de la surface de Klein dans ℝ3 ressemble un peu à une bouteille.

Références dans la culture populaire

  • La bouteille de Klein fait l’objet d’un chapitre (XII) dans La potière jalouse de Claude Lévi-Strauss (édition Plon 1985) : interprétations psychanalytiques et champ sémantique des orifices corporels.
  • Une des devises shadoks (« s’il n’y a pas de solution c’est qu’il n’y a pas de problème ») comporte une bouteille de Klein dans son illustration, elle symbolise un problème impossible à résoudre.
  • Dans le dessin animé Futurama, une marque de bière, « klein’s beer », est vendue dans des bouteilles de Klein.
  • Dans le jeu vidéo NetHack, tenter de verser une potion dans elle-même produit le message suivant : That is a potion bottle, not a Klein bottle! (C’est une bouteille de potion, pas une bouteille de Klein !)
  • Dans le jeu Magic the gathering une carte s'appelle « Elkin Bottle »2 (Ère Glaciaire, en 1995) en hommage à Richard Garfield, inventeur du jeu et mathématicien de son état. On pourra noter que les concepteurs ont pris soin de transformer le nom, « Elkin » étant une anagramme de « Klein » ; les connaisseurs penseront alors à toutes ces autres cartes des débuts de Magic qui constituent des hommages, ou des clins d'œil, et qui ont toutes un nom déformé.

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